这是《复变函数与积分变换》的笔记。说实话我们这群工科生学这个到底是干嘛的……
很显然这个主题对数学公式的支持还是很一般，同一个块里只能有一行，换行或者有中文字符都会导致渲染失败。
复数
基本概念
形如$z=x+iy$的数称为复数，规定$i^2=-1$，或$i=\sqrt{-1}$，x为z的实部，y为z的虚部：
$$ Re\ z=x,Im \ z=y $$
称$\overline{z}=x-iy$为$z$的共轭复数
若$z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$
定义复数加法：
$$ z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) $$
减法：
$$ z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2) $$
乘法：
$$ z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2-x_2y_1) $$
除法：
$$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}=\frac{z_1\overline z_2}{z_2\overline z_2} $$
复平面：横轴上的点表示实数，纵轴上的点表示纯虚数，则一个复数与平面坐标一一对应
复数的三角表示
模与辐角
复数可以和平面向量成对应：实部看作向量的水平分量，虚部看作铅锤分量
把向量起点放在复平面的坐标原点，则此向量及向量终点恰好对应同一个复数
如果$z$是一个不为0的数，对应的向量为$\vec{Oz}$：
- $z$的模：$\vec{Oz}$的长度
$z$的辐角：实轴正向与$\vec{Oz}$之间的夹角，可以有无数个值，任意两个值之间相差$2\pi$的整数倍
- 用$Arg \ z$作为辐角的一般表示，可以不受限制地取任意值
- 用$arg \ z$表示$z$的所有辐角中介于$\pi$和$-\pi$之间的那个角，称为$z$的主辐角
- 显然有$Arg \ z=arg \ z+2k\pi$
实部、虚部和模与辐角间有以下关系：
$$ x=|z|\ cos\ Arg\ z,\ y=\ |z|\ sin\ Arg\ z $$
对任意实数$\alpha$，用$arctan\ \alpha$表示$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$内正切为$\alpha$的角，则：
$$ arg\ z= \left\{ \begin{align}\ &arctan \frac{y}{x},&x>0,y\in R\\\\ &\frac{\pi}{2},&x=0,y>0\\\\ &arctan{\frac{y}{x}}+\pi,&x<0,y\ge0\\\\ &arctan{\frac{y}{x}-\pi},&x<0,y<0\\\\ &-\frac{\pi}{2},&x=0,y<0 \end{align}\ \right. $$
三角不等式
$$ ||z_1|-|z_2||\le|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|\\ ||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2| $$
等号成立条件：$z_1,z_2$在通过原点的同一直线上
三角表示
设$z$是一个不为0的复数，$r$是$z$的模，$\theta$是$z$的任意一个辐角，则：
$$ z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta) $$
利用欧拉公式：
$$ e^{i\theta}=cos\ \theta+i\ sin\ \theta $$
可以得到非零复数的指数形式：
$$ z=re^{i\theta} $$
三角表示下的乘除法
$$ \begin{array}\ z_1=r_1(cos \theta_1+i\ sin\ \theta_1),\ z_2=r_2(cos \theta_2+i\ sin\ \theta_2)\\ z_1\cdot z_2=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+i\ sin(\theta_1+\theta_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+i\ sin(\theta_1-\theta_2)] \end{array} $$
复数的乘方和开方
若$z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)$，则：
$$ z^n=[r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)]^n=r^n(cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta) $$
当r=1，得到棣莫弗公式：
$$ (cos\ \theta+i\ sin\ \theta)^n=cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta $$
开方：
$$ \omega=|z|^{\frac{1}{n}}\{cos[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)]+i\ sin[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)] \}, k=0,1,...,n-1 $$
平面点集
开集与闭集
平面上以$z_0$为中心，$\delta$（任意正数）为半径的开圆表示为：
$$ |z-z_0|<\delta $$
称它为$z_0$的邻域，而不等式$0<|z-z_0|<\delta$所确定的点集称为$z_0$的去心邻域。
设G为平面点集,$z_0$是一点：
$z_0$是G中一点，存在$z_0$的一个邻域，其所有点都属于G，称$z_0$是G的内点
- G内每个点都是它的内点，称G为开集
- 平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作$\complement{G}$开集的余集称为闭集。
- $z_0$的任一邻域内既有G的点又有$\complement{G}$的点，称$z_0$是G的一个边界点，G的边界点全体称为G的边界。
$z_0$是G中一点，若在$z_0$的某一邻域除$z_0$外不含G的点，称$z_0$是G的一个孤立点。
- G的孤立点一定是G的边界点
- 若存在一个以点$z=0$为中心的圆盘包含G，称G为有界集，否则称G为无界集。
区域
如果平面点集$D$满足：
- $D$是一个开集
- $D$是连通的
则称$D$是一个区域
$D$和它的边界一起构成闭区域$\overline{D}$。
平面曲线
设复值函数$z(t)=x(t)+iy(t)$，若在区间$a\le t \le b$上，$x'(t)$和$y'(t)$都是连续的，且对于每个$t$，都有：
$$ [x'(t)]^2+[y'(t)]^2\not= 0 $$
则称曲线是光滑的
设$C:z=z(t)(a\le t \le b)$为一条连续曲线：
- $z(a),z(b)$称为曲线的起点和终点
对$a<t_1<b,a\le t_2 \le b,t_1\not=t_2,z(t_1)=z(t_2)$，称$z(t_1)$为曲线$C$的重点。
- 没有重点的连续曲线称为简单曲线
- 简单曲线的起点和终点重合，称为简单闭曲线
设$D$是区域，对$D$内任一简单闭曲线，曲线内部总属于$D$，则称$D$是单连通区域，否则称为多连通区域。
无穷大与复球面
定义无穷大：
$$ \infty = \frac{1}{0} $$
在复变量下，无穷大没有正负之分
在复球面上，无穷远点可以与球面的北极点相对应。
复变函数
（这部分内容比较和高等数学接近，直接略掉）
