孤立奇点
分类
$f(z)$在$z_0$处不解析，但在$z_0$的某个去心邻域$0<|z-z_0|<\delta$内处处解析，则称$z_0$是$f(z)$的孤立奇点
在孤立奇点的去心邻域内，函数可以展开为洛朗级数：
$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n(z-z_0)^n $$
函数$f(z)$在$z_0$的奇异性质完全体现在负次幂部分（主要部分）$\sum\limits_{n=-\infty}^{-1}C_n(z-z_0)^n$：
- 若对一切$n<0$有$C_n=0$，则称$z_0$是$f(z)$的可去奇点，它的洛朗级数展开没有负次幂部分
如果有有限个整数$n<0$，使得$C_n\not=0$，称$z_0$是$f(z)$的极点
- 对正整数$m,C_{-m}\not=0$，当$n<-m$时，$C_n=0$则称$z_0$是$f(z)$的m阶极点
- 称一阶极点为简单极点
- 如果有无限个整数$n<0$，使得$C_n\not=0$，称$z_0$是$f(z)$的本性奇点
设函数$f(z)$在$0<|z-z_0|<\delta\ (0<\delta\le+\infty)$内解析，那么：
- $z_0$是$f(z)$的可去奇点的充分必要条件是$\lim_{z\to z_0}f(z)=C_0\not=0$
$z_0$是$f(z)$的极点的充分必要条件是$\lim_{z\to z_0}f(z)=\infty$
- $z_0$是$f(z)$的$m$阶极点的充分必要条件是$\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)=C_{-m}$
- $z_0$是$f(z)$的本性奇点的充分必要条件是$\lim_{z\to z_0}f(z)$不存在
函数的零点与极点的关系
若$f(z)=(z-z_0)^m\varphi(z)$，$\varphi(z)$在$z_0$处解析，且$\varphi(z_0)\not= 0$，$m$为正整数，称$z_0$是$f(z)$的$m$阶零点
若$f(z)$在$z_0$处解析，那么$z_0$为$f(z)$的$m$阶零点的充要条件是：
$$ f^{(n)}(z_0)=0\ (n=0,1,···,m-1),\ f^{(m)}(z_0)\not=0 $$
一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的
如果$z_0$是$f(z)$的$m$阶极点，那么$z_0$就是$\dfrac{1}{f(z)}$的$m$阶零点，反之亦然
函数在无穷远点的性态
设函数$f(z)$在无穷远点的邻域$R<|z|<+\infty$内解析，则无穷远点是$f(z)$的可去奇点
在$R<|z|<+\infty$内，有洛朗展开式：
$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty C_nz^n $$
其中：
$$ C_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta|=\rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta\ \ \ (\rho>R;n=0,\pm1,\pm2,···) $$
令$z=\dfrac{1}{\omega}$，得到函数$\varphi(\omega)=f(\dfrac{1}{\omega})$，$\omega=0$是其孤立奇点
将$\varphi(\omega)$在$0<|\omega|<\dfrac{1}{R}$上展开为洛朗级数：
$$ \varphi(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_n\omega^n $$
再代入$z=\dfrac{1}{\omega}$：
$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_n z^{-n} $$
由此可知，无穷远点作为函数的孤立奇点时，分类是以函数在无穷远点处邻域的洛朗展开式中正次幂的系数取零值的多少为依据
留数
概念
设$z_0$是解析函数$f(z)$的孤立奇点，将$f(z)$在$z_0$处的洛朗展开式中负一次幂项的系数$C_{-1}$为$f(z)$在$z_0$处的留数：
$$ \text{Res}[f(z),z_0]=C_{-1} $$
显然：
$$ C_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint f(z)dz $$
C为解析函数$f(z)$的$z_0$的去心邻域内绕$z_0$的闭曲线
留数定理
设函数$f(z)$在区域$D$内除有限个孤立奇点外处处解析，$C$是$D$内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，则：
$$ \oint_cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}\text{Res}(f(z),z_k) $$
上述公式实际上把沿一条闭路$C$的积分归结为求$C$内各孤立奇点处的留数和
求函数在孤立奇点$z_0$处的留数，只需要求出它在以$z_0$为中心的去心邻域内的洛朗级数中$C_{-1}(z-z_0)^{-1}$项的系数$C_{-1}$：
- 若$z_0$是$f(z)$的可去奇点，则$Res[f(z),z_0]=0$
- 若$z_0$是$f(z)$的本性奇点，则将$f(z)$在$z_0$处展开成洛朗级数
- 若$z_0$是$f(z)$的极点，则可用求导数与求极限方法得到留数
函数在极点的留数
法则Ⅰ：若$z_0$为$f(z)$的简单极点，则：
$$ Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) $$
法则Ⅱ：设$f(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}$，其中$P(z),Q(z)$在$z_0$处解析，若$P(z)\not=0$，$z_0$为$Q(z)$的一阶零点，则$z_0$为$f(z)$的一阶极点，且：
$$ Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} $$
法则Ⅲ：若$z_0$为$f(z)$的$m$阶极点，则：
$$ Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)] $$
无穷远点的留数
设$\infty$为$f(z)$的一个孤立奇点，即$f(z)$在$R<|z|<+\infty$内解析，则称
$$ \frac{1}{2\pi i}\oint_{C^-}f(z)dz\ \ \ (C:|z|=\rho>R) $$
为$f(z)$在点$\infty$的留数$Res[f(z),\infty]$，$C^-$指顺时针方向
