概念
定义
设函数$f(t)$是定义在$[0,+\infty)$上的实值函数，如果对于复参数$s=\beta+j\omega$，积分
$$ F(s)=\int_-^{+\infty}f(t)e^{-st}dt $$
在复平面s的某一区域内收敛，则称$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，记为$F(s)=\mathscr{L}[f(t)]$；称$f(t)$是$F(s)$的拉普拉斯逆变换，记为$f(t)=\mathscr{L}_{-1}[F(s)]$
$f(t)$的拉氏变换实际上是$f(t)u(t)e^{-\beta t}$的傅里叶变换，即：
- 首先通过单位阶跃函数使函数在$t<0$的部分充零或补零
- 对函数在$t>0$的部分乘上一个衰减的指数函数$e^{-\beta t}$，使函数$f(t)u(t)e^{-\beta t}$满足傅里叶积分条件
拉普拉斯变换存在定理
设函数$f(t)$满足：
- 在$t\ge 0$的任何有限区间上分段连续
当$t\rightarrow+\infty$时，$f(t)$具有有限的增长性，即存在常数$M>0,c$使得
$$ |f(t)|\le Me^{ct}(0\le t\le+\infty) $$
称常数$c$为$f(t)$的增长指数。
则像函数$F(s)$在半平面$\mathrm{Re}\ s>c$上一定存在且解析。
性质
线性性质
设$F(s)=\mathscr{L}[f(t)],G(s)=\mathscr{L}[g(t)],\alpha,\beta$为常数，则
$$ \mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(s)+\beta G(s)\\ \mathscr{L}^{-1}[\alpha F(s)+\beta G(s)]=\alpha f(t)+\beta g(t) $$
相似性质
设$F(s)=\mathscr{L}[f(t)],a>0$，则
$$ \mathscr{L}[f(at)]=\cfrac1{a}F\left(\cfrac{s}a\right) $$
微分性质
导数的像函数
设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$，则
$$ \mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0) $$
一般地，有
$$ \mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) $$
像函数的导数
设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$，则
$$ F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)] $$
一般地，有
$$ F^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr[t^nf(t)] $$
积分性质
积分的像函数
设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$，则
$$ \mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right]=\cfrac1sF(s) $$
一般地，有
$$ \mathscr{L}\left[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_nf(t)dt\right]=\cfrac1{s^2}F(s) $$
像函数的积分
设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$，则
$$ \int_s^{\infty}F(s)ds=\mathscr{L}\left[\cfrac{f(t)}t\right] $$
一般地，有
$$ \underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots \int_s^\infty}_nF(s)ds=\mathscr{L}\left[\cfrac{f(t)}{t^n}\right] $$
延迟性质
设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$，当$t<0$时，$f(t)=0$，则对任一非负实数$\tau$有
$$ \mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-s\tau}F(s) $$
位移性质
设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$，$a$为一复常数，则有
$$ \mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a) $$
周期函数的像函数
设$f(t)$是$[0,+\infty)$内以$T$为周期的函数，且$f(t)$在一个周期内逐段光滑，则
$$ \mathscr{L}[f(t)]=\cfrac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^Tf(t)e^{-st}dt $$
卷积定理
设$\mathscr{L}[f_1(t)]=F_1(s),\mathscr{L}[f_2(t)]=F_2(s)$，则
$$ \mathscr{L}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)\cdot F_2(s) $$
拉普拉斯逆变换的求解
反演积分公式
$$ f(t)=\cfrac1{2\pi j}\int_{\beta-j\omega}^{\beta+j\omega}F(s)e^{st}ds\ \ (t>0) $$
留数计算法
设$F(s)$除在半平面$\mathrm{Re}\ s\le c$内有限个鼓励奇点$s_1,s_2,\cdots,s_n$外是解析的，且当$s\rightarrow\infty$时，$F(s)\rightarrow0$，则有
$$ f(t)=\sum_{k=1}^n\mathrm{Res}[F(s)e^{st},s_k]\ \ (t>0) $$
