傅里叶变换的概念
傅里叶级数
三角形式
设$f_T(t)$是以$T$为周期的实值函数，且在$\left[-\cfrac T2,\cfrac T2\right]$上满足狄利克雷条件，则在$f_T(t)$的连续点处有
$$ f_T(t)=\cfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega_0 t+b_n\sin n\omega_0 t) $$
其中：
$$ \omega_0=\cfrac{2\pi}T\\ a_n=\cfrac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\cos n\ \omega_0 t\ dt\\ b_n=\cfrac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\sin n\ \omega_0 t\ dt $$
在间断点处，$f_T(t)$变为$\cfrac12[f_T(t+0)+f_T(t-0)]$
复指数形式
$$ f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\ e^{jn\omega_0t}\\ c_n=\cfrac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t) e^{-jn\omega_0t}\ dt $$
若令
$$ A_0=\cfrac{a_0}2,An=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\cos\theta_n=\cfrac{a_n}{A_n},\sin\theta_n=-\cfrac{-b_n}{A_n} $$
则傅里叶级数的三角形式可以写为
$$ \begin{aligned} f_T(t)&=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n(\cos \theta_n\cos n\omega_0t-\sin\theta_n\sin n\omega_0t)\\ &=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\cos(n\omega_0t+\theta_n) \end{aligned} $$
即，一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和，这些谐波的（角）频率分别为一个基频$\omega_0$的倍数。
由复指数形式可以看出：
$$ c_0=A_0,\arg c_n=-\arg c_{-n}=\theta_n\\ |c_n|=|c_{-n}|=\cfrac12\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\cfrac{A_n}2 $$
称$c_n$为周期函数$f_T(t)$的离散频谱，$|c_n|$为离散振幅谱，$\arg c_n$为离散相位谱。
傅里叶积分与傅里叶变换
傅里叶积分公式
条件：$f(t)$在$(-\infty,+\infty)$上的任一有限区间满足狄利克雷条件，且在$(-\infty,+\infty)$上绝对可积,即$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt<+\infty$
将非周期函数$f(t)$看成是由周期函数$f_T(t)$当$T\rightarrow+\infty$时转化过来的，有
$$ f(t)=\cfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\right]e^{j\omega t}d\omega $$
在间断点处，$f(t)$变为$\cfrac12[f(t+0)+f(t-0)]$
傅里叶变换
令
$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt $$
则有
$$ f(t)=\cfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega $$
$F(\omega)$称为$f(t)$的像函数，$f(t)$称为$F(\omega)$的像原函数
称$F(\omega)$为频率密度函数，称$|F(\omega)|$为振幅谱，$\arg F(\omega)$为相位谱
抽样信号
记$Sa(t)=\cfrac{\sin t}{t}$，信号$\cfrac{\alpha}{\pi}Sa(\alpha t)$（$Sa(t)$）称为抽样信号
单位冲激函数
概念与性质
单位冲激函数$\delta(t)$满足下面两个条件：
- 当$t\not= 0$时，$\delta(t)=0$
- $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1$
性质1：筛选性质
设$f(t)$是定义在实数域$R$上的有界函数，且在$t=0$处连续，则
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt=f(0) $$
一般地，若$f(t)$在$t=t_0$点连续，则
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0) $$
性质2
$\delta$函数为偶函数，$\delta(t)=\delta(-t)$
性质3
设$u(t)$为单位阶跃函数
$$ u(t)= \left\{ \begin{align} &1,&t>0,\\ &0,&t<0, \end{align} \right. $$
有
$$ \int_{-\infty}^t\delta(t)dt=u(t)\\ \cfrac{d[u(t)]}{dt}=\delta t $$
$\delta$函数的傅里叶变换
$$ \mathscr{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}dt=1 $$
即单位冲激函数包含各种频率分量且它们具有相等的幅度，称为均匀频谱或白色频谱
显然有逆变换：
$$ \mathscr{F}^{-1}[1]=\cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega t}d\omega=\delta(t) $$
设$f(t)$是以$T$为周期的实值函数，且在$\left[-\cfrac T2,\cfrac T2\right]$上满足狄利克雷条件，则$f(t)$和$F(\omega)=\sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}2\pi F(n\omega_0)\delta(\omega-n\omega_0)$是一对傅氏变换，其中$\omega_0=\cfrac{2\pi}T$，$F(n\omega_0)$是$f(t)$的离散频谱。
傅里叶变换的性质
基本性质
线性性质
设$F(\omega)=\mathscr{F}[F(t)],G(\omega)=\mathscr{F}[g(t)],\alpha,\beta$为常数，则
$$ \mathscr{F}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)\\ \mathscr{F}^{-1}[\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)]=\alpha f(t)+\beta g(t) $$
位移性质
设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)],t_0,t_\omega$为实常数，则
$$ \mathscr{F}[f(t-t_0)]=e^{-j\omega t_0}F(\omega)\\ \mathscr{F}^{-1}[F(\omega-\omega_0)]=e^{j\omega_0t}f(t) $$
相似性质
设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)],a$为非零常数，则
$$ \mathscr{F}[f(at)]=\cfrac1{|a|}F\left(\cfrac{\omega}a\right) $$
微分性质
若$\lim \limits_{|t|\rightarrow+\infty}f(t)=0$，则
$$ \mathscr{F}[f'(t)]=j\omega\mathscr{F}[f(t)] $$
一般地，若$\lim \limits_{|t|\rightarrow+\infty}f^{(k)}(t)=0$，则
$$ \mathscr{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n\mathscr{F}[f(t)] $$
积分性质
设$g(t)=\int_{-\infty}^t f(t)dt$，若$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}g(t)=0$，则
$$ \mathscr{F}[g(t)]=\cfrac1{j\omega}\mathscr{F}[f(t)] $$
帕塞瓦尔等式
设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]$，则
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt=\cfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d\omega $$
卷积
设实值函数$f_1(t),f_2(t)$在$(-\infty,+\infty)$内有定义，若反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$对任何实数$t$收敛，则它定义了一个自变量为$t$的函数，称为$f_1(t),f_2(t)$的卷积，记为$f_1(t)*f_2(t)$：
$$ f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau $$
显然，卷积满足交换律、结合律与分配律。
设$F_1(\omega)=\mathscr{F}[f_1(t)],F_2(\omega)=\mathscr{F}[f_2(t)]$，则有
$$ \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\ \mathscr{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\cfrac1{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega) $$
