概念

复变函数的导数

设函数$\omega=f(z)$在点$z_0$的某邻域内有定义，$z_0+\Delta z$是邻域内任一点，$\Delta\omega=f(z_0+\Delta z)-f(z_0),\Delta z=z-z_0$，若：

$$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta\omega}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} $$

存在有线的极限值$A$，则称$f(z)$在$z_0$处可导：

$$ f'(z_0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\\ \Delta\omega=f'(z_0)\Delta z+o(|\Delta z|)\ \ \ \ (\Delta z\to 0) $$

也称$f(z)$在$z_0$处可微。

显然，若$f(z)$在$z_0$处可导或可微，则$f(z)$在$z_0$处连续。

解析函数的概念与求导法则

若$f(z)$在$z_0$及$z_0$的邻域内处处可导，则称$f(z)$在$z_0$处解析

若$f(z)$在区域$D$内每一点解析，则称$f(z)$在$D$内解析，$f(z)$是$D$内的解析函数

若$f(z)$在$z_0$处不解析，则称$z_0$是$f(z)$的奇点

四则运算法则

若$f(z)$和$g(z)$都是区域$D$上的解析函数，则$f(z)\pm g(z),f(z)g(z),\frac{f(z)}{g(z)}(g(z)\not=0)$在区域$D$上解析，且：

$$ [f(z)\pm g(z)]' =f'(z)\pm g(z) $$

$$ [f(z)g(z)]' =f'(z)g(z)+f(z)g'(z) $$

$$ [\frac{f(z)}{g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{[g(z)]^2} $$

求导法则

复合函数：设函数$\xi=f(z)$在区域$D$内解析，函数$\omega=g(\xi)$在区域$G$内解析，又$f(D)\subset G$，则复合函数$\omega=g(f(z))=h(z)$在$D$内解析，且：

$$ h'(z)=[g(f(z))]'=g'(f(z))f'(z) $$

反函数：设函数$\omega=f(z)$在区域$D$内解析且$f'(z)\not=0$，又反函数$z=f^{-1}(\omega)=\varphi(\omega)$存在且连续，则：

$$ \varphi'(\omega)=\left. \frac{1}{f'(z)}\right|_{z=\varphi(\omega)}=\frac{1}{f'(\varphi(\omega))} $$

函数解析的一个充分必要条件：柯西-黎曼方程

函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$z=x+iy$处可导的充要条件是$u(x,y),v(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而且满足柯西-黎曼方程（C-R方程）：

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$

函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内解析的充要条件是$u(x,y),v(x,y)$在$D$内处处可微，而且满足C-R方程。

解析函数与调和函数的关系

调和函数的概念

若二元实函数$\varphi(x,y)$在区域$D$内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程：

$$ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 $$

则称$\varphi(x,y)$为区域$D$内的调和函数

设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$D$内解析，则$u(x,y)$和$v(x,y)$都是$D$内的调和函数

共轭调和函数：设函数$\varphi(x,y),\psi(x,y)$均为区域$D$内的调和函数，且满足C-R方程，则称$\psi$是$\varphi$的共轭调和函数。

复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内解析的充分必要条件是：在区域$D$内$f(z)$的虚部$v(x,y)$是实部$u(x,y)$的共轭调和函数。

解析函数与调和函数的关系

可以利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数。

偏积分法

例题： 验证$u(x,y)=x^3-3xy^2$是调和函数，并求以$u(x,y)$为实部的解析函数$f(z)$，使之适合$f(0)=i$

解：因为

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2\ ,\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy,\\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=6x,\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-6x $$

所以

$$ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 $$

$u$的二阶偏导数显然连续，故$u(x,y)$为调和函数

由于$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2$，得

$$ v=\int(3x^2-3y^2)dy=3x^2y-y^3+\varphi(x) $$

又有$\frac{\partial v}{\partial x}=6xy+\varphi'(x)=-\frac{\partial u}{\partial y}=6xy$，所以$\varphi'(x)=0,\varphi(x)=C$，因此

$$ v(x,y)=3x^2y-y^3+C $$

得到解析函数

$$ f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3+C) $$

因为$f(0)=i$，故$C=1$，所以$f(z)=z^3+i$

曲线积分法

从C-R方程可知，函数$u$决定了函数$v$的全微分：

$$ \text{d}v=\frac{\partial v}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\text{d}y=-\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}y $$

当$D$为单连通区域时，上式积分与路径无关，则：

$$ v(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}-\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}y+C $$

例题：求解析函数$f(z)=u+iv$，一直$u=x^2-y^2+xy,f(i)=-1+i$

解：容易验证$u$时全平面上的调和函数。先利用C-R方程求出$v$的两个偏导数

$$ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=2y-x,\ \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}=2x+y $$

则

$$ \begin{align} v(x,y) &= \int_{(0,0)}^{(x.y)}(2y-x)\text{d}x+(2x+y)\text{d}y+C\\ &= \int_{0}^x(-x)\text{d}x+\int_0^x(2x+y)\text{d}y+C\\ &= -\frac{1}{2}x^2+2xy+\frac{1}{2}y^2+C \end{align} $$

所以

$$ \begin{align} f(z) &= (x^2-y^2+xy)+i(-\frac{1}{2}x^2+2xy+\frac{1}{2}y^2+C)\\ &= (x+iy)^2-\frac{1}{2}i(x+iy)^2+iC\\ &= (1-\frac{i}{2})z^2+iC \end{align} $$

又因为$f(i)=-1+i$，所以$C=\frac{1}{2}$，结果得到

$$ f(z)=(1-\frac{i}{2})z^2+\frac{i}2 $$