概念

定义

设函数$f(t)$是定义在$[0,+\infty)$上的实值函数,如果对于复参数$s=\beta+j\omega$,积分

$$ F(s)=\int_-^{+\infty}f(t)e^{-st}dt $$

在复平面s的某一区域内收敛,则称$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换,记为$F(s)=\mathscr{L}[f(t)]$;称$f(t)$是$F(s)$的拉普拉斯逆变换,记为$f(t)=\mathscr{L}_{-1}[F(s)]$

$f(t)$的拉氏变换实际上是$f(t)u(t)e^{-\beta t}$的傅里叶变换,即:

  • 首先通过单位阶跃函数使函数在$t<0$的部分充零或补零
  • 对函数在$t>0$的部分乘上一个衰减的指数函数$e^{-\beta t}$,使函数$f(t)u(t)e^{-\beta t}$满足傅里叶积分条件

拉普拉斯变换存在定理

设函数$f(t)$满足:

  1. 在$t\ge 0$的任何有限区间上分段连续
  2. 当$t\rightarrow+\infty$时,$f(t)$具有有限的增长性,即存在常数$M>0,c$使得

    $$ |f(t)|\le Me^{ct}(0\le t\le+\infty) $$

    称常数$c$为$f(t)$的增长指数

则像函数$F(s)$在半平面$\mathrm{Re}\ s>c$上一定存在且解析。

性质

线性性质

设$F(s)=\mathscr{L}[f(t)],G(s)=\mathscr{L}[g(t)],\alpha,\beta$为常数,则

$$ \mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(s)+\beta G(s)\\ \mathscr{L}^{-1}[\alpha F(s)+\beta G(s)]=\alpha f(t)+\beta g(t) $$

相似性质

设$F(s)=\mathscr{L}[f(t)],a>0$,则

$$ \mathscr{L}[f(at)]=\cfrac1{a}F\left(\cfrac{s}a\right) $$

微分性质

导数的像函数

设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$,则

$$ \mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0) $$

一般地,有

$$ \mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) $$

像函数的导数

设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$,则

$$ F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)] $$

一般地,有

$$ F^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr[t^nf(t)] $$

积分性质

积分的像函数

设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$,则

$$ \mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right]=\cfrac1sF(s) $$

一般地,有

$$ \mathscr{L}\left[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_nf(t)dt\right]=\cfrac1{s^2}F(s) $$

像函数的积分

设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$,则

$$ \int_s^{\infty}F(s)ds=\mathscr{L}\left[\cfrac{f(t)}t\right] $$

一般地,有

$$ \underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots \int_s^\infty}_nF(s)ds=\mathscr{L}\left[\cfrac{f(t)}{t^n}\right] $$

延迟性质

设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$,当$t<0$时,$f(t)=0$,则对任一非负实数$\tau$有

$$ \mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-s\tau}F(s) $$

位移性质

设$\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$,$a$为一复常数,则有

$$ \mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a) $$

周期函数的像函数

设$f(t)$是$[0,+\infty)$内以$T$为周期的函数,且$f(t)$在一个周期内逐段光滑,则

$$ \mathscr{L}[f(t)]=\cfrac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^Tf(t)e^{-st}dt $$

卷积定理

设$\mathscr{L}[f_1(t)]=F_1(s),\mathscr{L}[f_2(t)]=F_2(s)$,则

$$ \mathscr{L}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)\cdot F_2(s) $$

拉普拉斯逆变换的求解

反演积分公式

$$ f(t)=\cfrac1{2\pi j}\int_{\beta-j\omega}^{\beta+j\omega}F(s)e^{st}ds\ \ (t>0) $$

留数计算法

设$F(s)$除在半平面$\mathrm{Re}\ s\le c$内有限个鼓励奇点$s_1,s_2,\cdots,s_n$外是解析的,且当$s\rightarrow\infty$时,$F(s)\rightarrow0$,则有

$$ f(t)=\sum_{k=1}^n\mathrm{Res}[F(s)e^{st},s_k]\ \ (t>0) $$

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