这是《复变函数与积分变换》的笔记。说实话我们这群工科生学这个到底是干嘛的……

很显然这个主题对数学公式的支持还是很一般,同一个块里只能有一行,换行或者有中文字符都会导致渲染失败。

复数

基本概念

形如$z=x+iy$的数称为复数,规定$i^2=-1$,或$i=\sqrt{-1}$,x为z的实部,y为z的虚部:

$$ Re\ z=x,Im \ z=y $$

称$\overline{z}=x-iy$为$z$的共轭复数

若$z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$

定义复数加法:

$$ z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) $$

减法:

$$ z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2) $$

乘法:

$$ z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2-x_2y_1) $$

除法:

$$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}=\frac{z_1\overline z_2}{z_2\overline z_2} $$

复平面:横轴上的点表示实数,纵轴上的点表示纯虚数,则一个复数与平面坐标一一对应

复数的三角表示

模与辐角

复数可以和平面向量成对应:实部看作向量的水平分量,虚部看作铅锤分量

把向量起点放在复平面的坐标原点,则此向量及向量终点恰好对应同一个复数

如果$z$是一个不为0的数,对应的向量为$\vec{Oz}$:

  • $z$的模:$\vec{Oz}$的长度
  • $z$的辐角:实轴正向与$\vec{Oz}$之间的夹角,可以有无数个值,任意两个值之间相差$2\pi$的整数倍

    • 用$Arg \ z$作为辐角的一般表示,可以不受限制地取任意值
    • 用$arg \ z$表示$z$的所有辐角中介于$\pi$和$-\pi$之间的那个角,称为$z$的主辐角
    • 显然有$Arg \ z=arg \ z+2k\pi$

实部、虚部和模与辐角间有以下关系:

$$ x=|z|\ cos\ Arg\ z,\ y=\ |z|\ sin\ Arg\ z $$

对任意实数$\alpha$,用$arctan\ \alpha$表示$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$内正切为$\alpha$的角,则:

$$ arg\ z= \left\{ \begin{align}\ &arctan \frac{y}{x},&x>0,y\in R\\\\ &\frac{\pi}{2},&x=0,y>0\\\\ &arctan{\frac{y}{x}}+\pi,&x<0,y\ge0\\\\ &arctan{\frac{y}{x}-\pi},&x<0,y<0\\\\ &-\frac{\pi}{2},&x=0,y<0 \end{align}\ \right. $$

三角不等式

$$ ||z_1|-|z_2||\le|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|\\ ||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2| $$

等号成立条件:$z_1,z_2$在通过原点的同一直线上

三角表示

设$z$是一个不为0的复数,$r$是$z$的模,$\theta$是$z$的任意一个辐角,则:

$$ z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta) $$

利用欧拉公式:

$$ e^{i\theta}=cos\ \theta+i\ sin\ \theta $$

可以得到非零复数的指数形式

$$ z=re^{i\theta} $$

三角表示下的乘除法

$$ \begin{array}\ z_1=r_1(cos \theta_1+i\ sin\ \theta_1),\ z_2=r_2(cos \theta_2+i\ sin\ \theta_2)\\ z_1\cdot z_2=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+i\ sin(\theta_1+\theta_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+i\ sin(\theta_1-\theta_2)] \end{array} $$

复数的乘方和开方

若$z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)$,则:

$$ z^n=[r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)]^n=r^n(cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta) $$

当r=1,得到棣莫弗公式:

$$ (cos\ \theta+i\ sin\ \theta)^n=cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta $$

开方:

$$ \omega=|z|^{\frac{1}{n}}\{cos[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)]+i\ sin[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)] \}, k=0,1,...,n-1 $$

平面点集

开集与闭集

平面上以$z_0$为中心,$\delta$(任意正数)为半径的开圆表示为:

$$ |z-z_0|<\delta $$

称它为$z_0$的邻域,而不等式$0<|z-z_0|<\delta$所确定的点集称为$z_0$的去心邻域

设G为平面点集,$z_0$是一点:

  • $z_0$是G中一点,存在$z_0$的一个邻域,其所有点都属于G,称$z_0$是G的内点

    • G内每个点都是它的内点,称G为开集
  • 平面上不属于G的点的全体称为G的余集,记作$\complement{G}$开集的余集称为闭集
  • $z_0$的任一邻域内既有G的点又有$\complement{G}$的点,称$z_0$是G的一个边界点,G的边界点全体称为G的边界
  • $z_0$是G中一点,若在$z_0$的某一邻域除$z_0$外不含G的点,称$z_0$是G的一个孤立点

    • G的孤立点一定是G的边界点
  • 若存在一个以点$z=0$为中心的圆盘包含G,称G为有界集,否则称G为无界集

区域

如果平面点集$D$满足:

  1. $D$是一个开集
  2. $D$是连通的

则称$D$是一个区域

$D$和它的边界一起构成闭区域$\overline{D}$。

平面曲线

设复值函数$z(t)=x(t)+iy(t)$,若在区间$a\le t \le b$上,$x'(t)$和$y'(t)$都是连续的,且对于每个$t$,都有:

$$ [x'(t)]^2+[y'(t)]^2\not= 0 $$

则称曲线是光滑

设$C:z=z(t)(a\le t \le b)$为一条连续曲线:

  • $z(a),z(b)$称为曲线的起点和终点
  • 对$a<t_1<b,a\le t_2 \le b,t_1\not=t_2,z(t_1)=z(t_2)$,称$z(t_1)$为曲线$C$的重点

    • 没有重点的连续曲线称为简单曲线
    • 简单曲线的起点和终点重合,称为简单闭曲线

设$D$是区域,对$D$内任一简单闭曲线,曲线内部总属于$D$,则称$D$是单连通区域,否则称为多连通区域

无穷大与复球面

定义无穷大:

$$ \infty = \frac{1}{0} $$

在复变量下,无穷大没有正负之分

在复球面上,无穷远点可以与球面的北极点相对应。

复变函数

(这部分内容比较和高等数学接近,直接略掉)

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