复数与复变函数

博主： williamkong
发布时间：2021 年 04 月 29 日
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1328字数
分类：复变函数与积分变换

> 这是《复变函数与积分变换》的笔记。说实话我们这群工科生学这个到底是干嘛的……
>
> 很显然这个主题对数学公式的支持还是很一般，同一个块里只能有一行，换行或者有中文字符都会导致渲染失败。

## 复数

### 基本概念

形如$z=x+iy$的数称为**复数**，规定$i^2=-1$，或$i=\sqrt{-1}$，x为z的实部，y为z的虚部：

$$
Re\ z=x,Im \ z=y

称$\overline{z}=x-iy$为$z$的**共轭复数**

若$z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$

定义复数加法：

$$
z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)

减法：

$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)

乘法：

$$
z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2-x_2y_1)

除法：

$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}=\frac{z_1\overline z_2}{z_2\overline z_2}

**复平面**：横轴上的点表示实数，纵轴上的点表示纯虚数，则一个复数与平面坐标一一对应

### 复数的三角表示

#### 模与辐角

复数可以和平面向量成对应：实部看作向量的水平分量，虚部看作铅锤分量

把向量起点放在复平面的坐标原点，则此向量及向量终点恰好对应同一个复数

如果$z$是一个不为0的数，对应的向量为$\vec{Oz}$：

- $z$的模：$\vec{Oz}$的长度
- $z$的辐角：实轴正向与$\vec{Oz}$之间的夹角，可以有无数个值，任意两个值之间相差$2\pi$的整数倍
  - 用$Arg \ z$作为辐角的一般表示，可以不受限制地取任意值
  - 用$arg \ z$表示$z$的所有辐角中介于$\pi$和$-\pi$之间的那个角，称为$z$的**主辐角**
  - 显然有$Arg \ z=arg \ z+2k\pi$

实部、虚部和模与辐角间有以下关系：

$$
x=|z|\ cos\ Arg\ z,\ y=\ |z|\ sin\ Arg\ z

对任意实数$\alpha$，用$arctan\ \alpha$表示$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$内正切为$\alpha$的角，则：

$$
arg\ z=
\left\{

\begin{align}\
		&arctan \frac{y}{x},&x>0,y\in R\\\\
		&\frac{\pi}{2},&x=0,y>0\\\\
		&arctan{\frac{y}{x}}+\pi,&x<0,y\ge0\\\\
		&arctan{\frac{y}{x}-\pi},&x<0,y<0\\\\
		&-\frac{\pi}{2},&x=0,y<0
	\end{align}\

\right.

#### 三角不等式

$$
||z_1|-|z_2||\le|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|\\
||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|

等号成立条件：$z_1,z_2$在通过原点的同一直线上

#### 三角表示

设$z$是一个不为0的复数，$r$是$z$的模，$\theta$是$z$的任意一个辐角，则：

$$
z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)

利用欧拉公式：

$$
e^{i\theta}=cos\ \theta+i\ sin\ \theta

可以得到非零复数的**指数形式**：

$$
z=re^{i\theta}

#### 三角表示下的乘除法

$$
\begin{array}\
z_1=r_1(cos \theta_1+i\ sin\ \theta_1),\ z_2=r_2(cos \theta_2+i\ sin\ \theta_2)\\
z_1\cdot z_2=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+i\ sin(\theta_1+\theta_2)]\\
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+i\ sin(\theta_1-\theta_2)]
\end{array}

#### 复数的乘方和开方

若$z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)$，则：

$$
z^n=[r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)]^n=r^n(cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta)

当r=1，得到棣莫弗公式：

$$
(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)^n=cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta

开方：

$$
\omega=|z|^{\frac{1}{n}}\{cos[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)]+i\ sin[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)] \},
k=0,1,...,n-1

### 平面点集

#### 开集与闭集

平面上以$z_0$为中心，$\delta$（任意正数）为半径的开圆表示为：

$$
|z-z_0|<\delta

称它为$z_0$的**邻域**，而不等式$0<|z-z_0|<\delta$所确定的点集称为$z_0$的**去心邻域**。

设G为平面点集,$z_0$是一点：

- $z_0$是G中一点，存在$z_0$的一个邻域，其所有点都属于G，称$z_0$是G的**内点**
  - G内每个点都是它的内点，称G为**开集**
- 平面上不属于G的点的全体称为G的**余集**，记作$\complement{G}$开集的余集称为**闭集**。
- $z_0$的任一邻域内既有G的点又有$\complement{G}$的点，称$z_0$是G的一个**边界点**，G的边界点全体称为G的**边界**。
- $z_0$是G中一点，若在$z_0$的某一邻域除$z_0$外不含G的点，称$z_0$是G的一个**孤立点**。
  - G的孤立点一定是G的边界点
- 若存在一个以点$z=0$为中心的圆盘包含G，称G为**有界集**，否则称G为**无界集**。

#### 区域

如果平面点集$D$满足：

1. $D$是一个开集
2. $D$是连通的

则称$D$是一个**区域**

$D$和它的边界一起构成闭区域$\overline{D}$。

#### 平面曲线

设复值函数$z(t)=x(t)+iy(t)$，若在区间$a\le t \le b$上，$x'(t)$和$y'(t)$都是连续的，且对于每个$t$，都有：

$$
[x'(t)]^2+[y'(t)]^2\not= 0

则称曲线是**光滑**的

设$C:z=z(t)(a\le t \le b)$为一条连续曲线：

- $z(a),z(b)$称为曲线的起点和终点
- 对$a<t_1<b,a\le t_2 \le b,t_1\not=t_2,z(t_1)=z(t_2)$，称$z(t_1)$为曲线$C$的**重点**。
  - 没有重点的连续曲线称为**简单曲线**
  - 简单曲线的起点和终点重合，称为**简单闭曲线**

设$D$是区域，对$D$内任一简单闭曲线，曲线内部总属于$D$，则称$D$是**单连通区域**，否则称为**多连通区域**。

### 无穷大与复球面

定义无穷大：

$$
\infty  = \frac{1}{0}

**在复变量下，无穷大没有正负之分**

在复球面上，无穷远点可以与球面的北极点相对应。

### 复变函数

（这部分内容比较和高等数学接近，直接略掉）

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复数与复变函数

williamkong • 2021 年 04 月 29 日

## 复数

### 基本概念

形如$z=x+iy$的数称为**复数**，规定$i^2=-1$，或$i=\sqrt{-1}$，x为z的实部，y为z的虚部：

$$
Re\ z=x,Im \ z=y

称$\overline{z}=x-iy$为$z$的**共轭复数**

若$z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$

定义复数加法：

$$
z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)

减法：

$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)

乘法：

$$
z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2-x_2y_1)

除法：

$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}=\frac{z_1\overline z_2}{z_2\overline z_2}

**复平面**：横轴上的点表示实数，纵轴上的点表示纯虚数，则一个复数与平面坐标一一对应

### 复数的三角表示

#### 模与辐角

复数可以和平面向量成对应：实部看作向量的水平分量，虚部看作铅锤分量

把向量起点放在复平面的坐标原点，则此向量及向量终点恰好对应同一个复数

如果$z$是一个不为0的数，对应的向量为$\vec{Oz}$：

实部、虚部和模与辐角间有以下关系：

$$
x=|z|\ cos\ Arg\ z,\ y=\ |z|\ sin\ Arg\ z

对任意实数$\alpha$，用$arctan\ \alpha$表示$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$内正切为$\alpha$的角，则：

$$
arg\ z=
\left\{

\right.

#### 三角不等式

$$
||z_1|-|z_2||\le|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|\\
||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|

等号成立条件：$z_1,z_2$在通过原点的同一直线上

#### 三角表示

设$z$是一个不为0的复数，$r$是$z$的模，$\theta$是$z$的任意一个辐角，则：

$$
z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)

利用欧拉公式：

$$
e^{i\theta}=cos\ \theta+i\ sin\ \theta

可以得到非零复数的**指数形式**：

$$
z=re^{i\theta}

#### 三角表示下的乘除法

#### 复数的乘方和开方

若$z=r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)$，则：

$$
z^n=[r(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)]^n=r^n(cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta)

当r=1，得到棣莫弗公式：

$$
(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)^n=cos\ n\theta+i\ sin\ n\theta

开方：

$$
\omega=|z|^{\frac{1}{n}}\{cos[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)]+i\ sin[\frac{1}{n}(arg\ z+2k\pi)] \},
k=0,1,...,n-1

### 平面点集

#### 开集与闭集

平面上以$z_0$为中心，$\delta$（任意正数）为半径的开圆表示为：

$$
|z-z_0|<\delta

称它为$z_0$的**邻域**，而不等式$0<|z-z_0|<\delta$所确定的点集称为$z_0$的**去心邻域**。

设G为平面点集,$z_0$是一点：

#### 区域

如果平面点集$D$满足：

1. $D$是一个开集
2. $D$是连通的

则称$D$是一个**区域**

$D$和它的边界一起构成闭区域$\overline{D}$。

#### 平面曲线

设复值函数$z(t)=x(t)+iy(t)$，若在区间$a\le t \le b$上，$x'(t)$和$y'(t)$都是连续的，且对于每个$t$，都有：

$$
[x'(t)]^2+[y'(t)]^2\not= 0

则称曲线是**光滑**的

设$C:z=z(t)(a\le t \le b)$为一条连续曲线：

设$D$是区域，对$D$内任一简单闭曲线，曲线内部总属于$D$，则称$D$是**单连通区域**，否则称为**多连通区域**。

### 无穷大与复球面

定义无穷大：

$$
\infty  = \frac{1}{0}

**在复变量下，无穷大没有正负之分**

在复球面上，无穷远点可以与球面的北极点相对应。

### 复变函数

（这部分内容比较和高等数学接近，直接略掉）

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