复积分的概念

定义

设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在光滑曲线$C$上连续,则复积分$\int_Cf(z)dz$存在,且可以通过两个二元实变函数的线积分计算:

$$ \int_Cf(z)dz=\int_Cu(x,y)dx-v(x,y)dy+i\int_Cv(x,y)dx+i(x,y)dy $$

利用上式,可以将复积分化为普通的定积分,设$z(t)=x(t)+iy(t)(a\le t\le b)$:

$$ \int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt $$

基本性质

$$ \int_Ckf(z)dz=k\int_Cf(z)dz $$

$$ \int_Cf(z)dz=-\int_{C^-}f(z)dz $$

$$ \int_C[f(z)\pm g(z)]dz=\int_Cf(z)dz\pm \int_Cg(z)dz $$

$$ \int_Cf(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz,\ \ C=C_1+C_2 $$

$$ \left|\int_Cf(z)dz\right|\le\int_C|f(z)ds $$

若$C$上有$|f(z)|\le M$,$C$的长记为$L$,则:

$$ \left|\int_Cf(z)dz\right|\le M\ L $$

柯西积分定理

柯西积分定理)设函数$f(z)$在单连通区域$D$内解析,则$f(z)$在$D$内沿任意一条简单闭曲线$C$的积分

$$ \int_Cf(z)dz=0 $$


设函数$f(z)$在单连通区域$D$内解析,$z_0$与$z_1$为$D$内任意两点,$C_1$与$C_2$连接$z_0$与$z_1$的积分路线,$C_1,C_2$都含于$D$,则

$$ \int_{C_1}f(z)dz=\int_{C_2}f(z)dz $$


闭路变形定理)设$C_1$与$C_2$是两条简单闭曲线,$C_2$在$C_1$内部,$f(z)$在$C_1$与$C_2$所围的多连通区域$D$内解析,而在$\overline{D}=D+C_1+C_2^-$上连续,则

$$ \oint_{C_1}f(z)dz=\oint_{C_2}f(z)dz $$


复合闭路定理)设C为多连通域$D$内的一条简单闭曲线,$C_1,C_2,···,C_n$是在$C$内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以$C,C_1,C_2,···,C_n$为边界的区域全含于$D$。若$f(z)$在$D$内解析,则

$$ \oint_Cf(z)dz=\sum_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz $$

其中$C$及$C_k$均取正方向

$$ \oint_\Gamma f(z)dz=0 $$

$\Gamma$是由$C$及$C_k^-$所组成的复合回路($C$逆时针,$C_k^-$顺时针)


若$f(z)$在区域$D$内解析,则与沿$D$内的简单曲线$C$的积分$\int_Cf(\zeta)d\zeta$只与$C$的起点$z_0$和终点$z$有关,而与$C$的路径无关。将这种积分约定写成

$$ \int_{z_0}^zf(\zeta)d\zeta $$

当$z_0$固定而上限$z$在$D$内变动时,变上限积分所确定的函数

$$ F(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)d\zeta $$

也是$D$内的解析函数,$F'(z)=f(z)$

若在单连通区域$D$内$F(z)$恒满足条件$F'(z)=f(z)$,则称$F(z)$是$f(z)$的原函数

解析函数积分计算公式)设$f(z)$在单连通区域$D$内解析,$G(z)$为$f(z)$的一个原函数,则

$$ \int_{z_0}^{z_1}f(z)dz=G(z_1)-G(z_0) $$

柯西积分公式

设$f(z)$在简单闭曲线$C$所围成的区域$D$内解析,在$\overline{D}=D\cup C$上连续,$z_0$是$D$内任一点,则

$$ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz $$

推论1: 设$f(z)$在$|z-z_0|<R$内解析,在$|z-z_0|\le R$上连续,则

$$ f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta $$

推论2: 设$f(z)$在简单闭曲线$C_1,C_2$所围成的多连通区域$D$内解析,并在$\overline{D}=C_1+C_2+D$上连续,$C_2$在$C_1$的内部,$z_0$为$D$内一点,则

$$ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(z)}{z-z_0}dz-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(z)}{z-z_0}dz $$


最大模定理: 设函数$f(z)$在区域$D$内解析,又$f(z)$不是常数,则$|f(z)|$在$D$内没有最大值

推论1: 在区域$D$内解析的函数,若其模在$D$的内点达到最大值,则此函数必恒为常数

推论2: 若$f(z)$在有界区域$D$内解析,在$\overline{D}$上连续,则$|f(z)|$必在$D$的边界上达到最大模

解析函数的高阶导数

设函数$f(z)$在简单闭曲线$C$所围成的区域$D$内解析,而在$\overline{D}=D\cup C$上连续,则$f(z)$的各阶导函数均在$D$内解析,对$D$内任一点$z$,有:

$$ f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta\ \ (n=1,2,···) $$

根据这一公式可以用求导的方式计算积分:

$$ \oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z) $$


柯西不等式)设函数$f(z)$在$|z-z_0|<R$内解析,又$|f(z)|\le M$,则

$$ |f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!\ M}{R^n}\ \ (n=1,2,···) $$

刘维尔定理)设函数$f(z)f(z)$在全平面上为解析且有界,则$f(z)f(z)$为一常数

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