傅里叶变换的概念

傅里叶级数

三角形式

设$f_T(t)$是以$T$为周期的实值函数,且在$\left[-\cfrac T2,\cfrac T2\right]$上满足狄利克雷条件,则在$f_T(t)$的连续点处有

$$ f_T(t)=\cfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega_0 t+b_n\sin n\omega_0 t) $$

其中:

$$ \omega_0=\cfrac{2\pi}T\\ a_n=\cfrac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\cos n\ \omega_0 t\ dt\\ b_n=\cfrac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\sin n\ \omega_0 t\ dt $$

在间断点处,$f_T(t)$变为$\cfrac12[f_T(t+0)+f_T(t-0)]$

复指数形式

$$ f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\ e^{jn\omega_0t}\\ c_n=\cfrac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t) e^{-jn\omega_0t}\ dt $$


若令

$$ A_0=\cfrac{a_0}2,An=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\cos\theta_n=\cfrac{a_n}{A_n},\sin\theta_n=-\cfrac{-b_n}{A_n} $$

则傅里叶级数的三角形式可以写为

$$ \begin{aligned} f_T(t)&=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n(\cos \theta_n\cos n\omega_0t-\sin\theta_n\sin n\omega_0t)\\ &=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\cos(n\omega_0t+\theta_n) \end{aligned} $$

即,一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和,这些谐波的(角)频率分别为一个基频$\omega_0$的倍数。


由复指数形式可以看出:

$$ c_0=A_0,\arg c_n=-\arg c_{-n}=\theta_n\\ |c_n|=|c_{-n}|=\cfrac12\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\cfrac{A_n}2 $$

称$c_n$为周期函数$f_T(t)$的离散频谱,$|c_n|$为离散振幅谱,$\arg c_n$为离散相位谱

傅里叶积分与傅里叶变换

傅里叶积分公式

条件:$f(t)$在$(-\infty,+\infty)$上的任一有限区间满足狄利克雷条件,且在$(-\infty,+\infty)$上绝对可积,即$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt<+\infty$

将非周期函数$f(t)$看成是由周期函数$f_T(t)$当$T\rightarrow+\infty$时转化过来的,有

$$ f(t)=\cfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\right]e^{j\omega t}d\omega $$

在间断点处,$f(t)$变为$\cfrac12[f(t+0)+f(t-0)]$

傅里叶变换

$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt $$

则有

$$ f(t)=\cfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega $$

$F(\omega)$称为$f(t)$的像函数,$f(t)$称为$F(\omega)$的像原函数

称$F(\omega)$为频率密度函数,称$|F(\omega)|$为振幅谱,$\arg F(\omega)$为相位谱

抽样信号

记$Sa(t)=\cfrac{\sin t}{t}$,信号$\cfrac{\alpha}{\pi}Sa(\alpha t)$($Sa(t)$)称为抽样信号

单位冲激函数

概念与性质

单位冲激函数$\delta(t)$满足下面两个条件:

  • 当$t\not= 0$时,$\delta(t)=0$
  • $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1$

性质1:筛选性质

设$f(t)$是定义在实数域$R$上的有界函数,且在$t=0$处连续,则

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt=f(0) $$

一般地,若$f(t)$在$t=t_0$点连续,则

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0) $$

性质2

$\delta$函数为偶函数,$\delta(t)=\delta(-t)$

性质3

设$u(t)$为单位阶跃函数

$$ u(t)= \left\{ \begin{align} &1,&t>0,\\ &0,&t<0, \end{align} \right. $$

$$ \int_{-\infty}^t\delta(t)dt=u(t)\\ \cfrac{d[u(t)]}{dt}=\delta t $$

$\delta$函数的傅里叶变换

$$ \mathscr{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}dt=1 $$

即单位冲激函数包含各种频率分量且它们具有相等的幅度,称为均匀频谱或白色频谱

显然有逆变换:

$$ \mathscr{F}^{-1}[1]=\cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j\omega t}d\omega=\delta(t) $$


设$f(t)$是以$T$为周期的实值函数,且在$\left[-\cfrac T2,\cfrac T2\right]$上满足狄利克雷条件,则$f(t)$和$F(\omega)=\sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty}2\pi F(n\omega_0)\delta(\omega-n\omega_0)$是一对傅氏变换,其中$\omega_0=\cfrac{2\pi}T$,$F(n\omega_0)$是$f(t)$的离散频谱。

傅里叶变换的性质

基本性质

线性性质

设$F(\omega)=\mathscr{F}[F(t)],G(\omega)=\mathscr{F}[g(t)],\alpha,\beta$为常数,则

$$ \mathscr{F}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)\\ \mathscr{F}^{-1}[\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)]=\alpha f(t)+\beta g(t) $$

位移性质

设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)],t_0,t_\omega$为实常数,则

$$ \mathscr{F}[f(t-t_0)]=e^{-j\omega t_0}F(\omega)\\ \mathscr{F}^{-1}[F(\omega-\omega_0)]=e^{j\omega_0t}f(t) $$

相似性质

设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)],a$为非零常数,则

$$ \mathscr{F}[f(at)]=\cfrac1{|a|}F\left(\cfrac{\omega}a\right) $$

微分性质

若$\lim \limits_{|t|\rightarrow+\infty}f(t)=0$,则

$$ \mathscr{F}[f'(t)]=j\omega\mathscr{F}[f(t)] $$

一般地,若$\lim \limits_{|t|\rightarrow+\infty}f^{(k)}(t)=0$,则

$$ \mathscr{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n\mathscr{F}[f(t)] $$

积分性质

设$g(t)=\int_{-\infty}^t f(t)dt$,若$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}g(t)=0$,则

$$ \mathscr{F}[g(t)]=\cfrac1{j\omega}\mathscr{F}[f(t)] $$

帕塞瓦尔等式

设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]$,则

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt=\cfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d\omega $$

卷积

设实值函数$f_1(t),f_2(t)$在$(-\infty,+\infty)$内有定义,若反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$对任何实数$t$收敛,则它定义了一个自变量为$t$的函数,称为$f_1(t),f_2(t)$的卷积,记为$f_1(t)*f_2(t)$:

$$ f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau $$

显然,卷积满足交换律、结合律与分配律。


设$F_1(\omega)=\mathscr{F}[f_1(t)],F_2(\omega)=\mathscr{F}[f_2(t)]$,则有

$$ \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\ \mathscr{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\cfrac1{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega) $$

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