复数项级数

复数序列的极限

设$z_0=x_0+iy_0,z_n=x_n+iy_n(n=0,1,2,···)$,则$\lim_{n\to\infty}z_n=z_0$的充分必要条件是

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0\ \ \ \lim_{n\to\infty}y_n=y_0 $$

复数项级数

设${z_n}(n=1,2,···)$为一复数序列,表达式

$$ \sum_{n=1}^\infty z_n=z_1+z_2+···+z_n+··· $$

称为复数项无穷级数。若它的部分和序列

$$ S_n=z_1+z_2+···+z_n(n=1,2,3,···) $$

有极限$\lim_{n\to\infty}S_n=S$,称级数是收敛的,$S$称为级数的和,否则称级数是发散的


级数收敛的充分必要条件是级数$\sum_{n=1}^\infty x_n$和$\sum_{n=1}^\infty y_n$都收敛

级数收敛的必要条件是$\lim_{n\to\infty}z_n=\lim_{n\to\infty}(x_n+iy_n)=0$


若$\sum_{n=1}^\infty|z_n|$收敛,则$\sum_{n=1}^\infty z_n$也收敛

复变函数项级数

设${f_n(z)(n=1,2,···)}$为区域$D$内的函数,则称

$$ \sum_{n=1}^\infty f_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+···+f_n(z)+··· $$

为区域$D$的复变函数项级数,该级数的前n项和

$$ S_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+···+f_n(z) $$

称为级数的部分和

设$z_0$为区域$D$内一点,若$\lim_{n\to\infty}S_n(z_0)=S(z_0)$,则称上述级数在$z_0$处是收敛的。$\sum_{n=1}^\infty f_n(z_0)=S(z_0)$。若级数在$D$内处处收敛,这时级数的和是$D$内的一个函数$S(z)$:

$$ \sum_{n=1}^\infty f_n(z)=S(z) $$

幂级数

形如

$$ \sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n=C_0+C_1(z-z_0)+C_2(z-z_0)^2+···+C_n(z-z_0)^n+··· $$

的复函数项级数称为幂函数

阿贝尔定理: 若上述幂级数在点$z_1(z_1\not=z_0)$收敛,则级数在圆域$|z-z_0|<|z_1-z_0|$内绝对收敛

推论: 若幂级数在点$z_1$发散,则满足$|z-z_0|>|z_2-z_0|$的点$z$都使级数发散

当级数存在$z_1\not=z_0$,使$\sum_{n=0}^\infty C_n(z_1-z_0)^n$收敛,此时存在一个有限正数$R$,使得$\sum_{n=0}^\infty C_n(z_1-z_0)^n$在$|z_1-z_0|=R$内绝对收敛,在圆周$|z-z_0|=R$的外部发散,$R$称为此幂级数的收敛半径,圆周$|z-z_0|=R$称为收敛圆。

收敛半径的具体求法

  • 比值法:若$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{C_{n+1}}{C_n} \right|=\lambda$,则级数$\sum_{n=0}^\infty C_n(z_1-z_0)^n$的收敛半径$R=\frac{1}{\lambda}$
  • 根值法:设$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|C_n|}=\lambda$,则级数$\sum_{n=0}^\infty C_n(z_1-z_0)^n$的收敛半径$R=\frac{1}{\lambda}$

    当$\lambda=0$时,$R=\infty$;当$\lambda=\infty$时,$R=0$

泰勒级数

泰勒定理)设函数$f(z)$在区域$D$内解析,$z_0$为$D$内的一点,$R$到$z_0$为$D$的边界上各点的最短距离,则当$|z-z_0|<R$时,$f(z)$可展开为幂级数

$$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty C_n(z-z_0)^n $$

其中

$$ C_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0),\ n=0,1,2,··· $$

函数在一点解析的充分必要条件是它在这点的邻域内可以展开为幂级数

一个重要的泰勒展开式:

$$ \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+···+z^n+··· $$

洛朗级数

洛朗定理)设函数$f(z)$在圆环域$R_1<|z-z_0|<R_2$内处处解析,则$f(z)$一定能在此圆环域中展开为

$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n(z-z_0)^n $$

其中

$$ C_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta\ \ \ (n=0,\pm1,\pm2,···) $$

将函数展开为洛朗级数的方法: 设法把函数拆成两部分,一部分在圆盘$|z-z_0|<R_2|z-z_0|<R_2$内解析,从而可以展开为幂级数;另一部分在圆周的外部$|z-z_0|>R_1|z-z_0|>R_1$解析,从而可展开为负次幂级数。这样,就可以把泰勒展开的方法应用上去。

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